סוצקבר נולד ב-1913 בסמרגון שליד וילנה. הוא למד בבית ספר דתי ובתיכון פולני-עברי. החל לכתוב שירה בגיל 13, תחילה בעברית ואחר כך ביידיש, אף שמעולם לא הלך לבית ספר יידי. הוא היה מעורב בחיים התרבותיים בגטו וילנה עד כשלון המרד, אז יצא עם הלוחמים ליערות והצטרף לפרטיזנים.
צרור השירים שכתב בגטו ובו הפואמה "כל נדרי", הגיע למוסקבה ועשה רושם כה עז עד כי נשלח מטוס מיוחד להביאו ב-1944 מהיערות לבירה הרוסית. סוצקבר הוטס למוסקבה יחד עם מזוודתו המלאה בכתביו ובסיפורי המלחמה בגטו וילנה. אחרי המלחמה חזר לוילנה וב-1947 עלה עם אשתו לישראל. בארץ יסד את הרבעון הספרותי "די גאלדענע קייט", ששימש אכסניה עולמית לשרידי הספרות היידית וסופריה, וערך אותו עד 1998.
סיפורו של סצוקבר היה כה ידוע ודמותו כה מוכרת עד שב-1946, בחרו בו שלטונות ברית המועצות להיות היהודי היחיד שיופיע במשפט נירנברג, כעד מצד המשלחת הסובייטית. מיליוני יהודים בברית המועצות העריצו אותו על שהעיד בפני הנאצים על השמדת העם היהודי.
