זו לא סקירה:
סתירה היא עמוד יסודו של אדם, כך מאמין כותב שורות אלה. אמנם גלוי הדבר לכל, באשר בני אדם מחזיקים עמדות שונות בעניינים זהים, ואף מתנהגים פעמים רבות כנגד עמדותיהם הם. כך למשל רוב מוחלט של בני האדם רוצים להיות בריאים, ובתוך אותו רוב גדול של בני אדם, ישנם אלה הבוחרים לעשן, למשל, או לאכול יותר מדי, או לנהוג מהר מדי, על אף שברור להם שכל הדברים הללו פוגעים ממש בבריאותם, או עשויים לפגוע בבריאותם עד כיליון. ועם זה שיודעים הדבר בוודאות, הם עדיין נוהגים בניגוד לעצת עצמם, כי לי זה לא יקרה. האם פרדוקס? ובכן, כן.
ואין זאת שאני אומר כי כל אדם מכיל סתירות. זה נכון, כאמור. אני אומר שעמוד יסודו של אדם הוא סתירה, וכי עצם הלוז של אדם, הדבר המבחין אותו משאר נבראים, הוא כי יש בו היכולת להכיל סתירה, ולא בכוח בלבד, אלא מכיל סתירה בפועל. אם עומד לפניך אדם הריהו מכיל סתירה, ואם אינו - הרי שאינו אדם. ומכאן שעמוד יסודה של התבונה הוא היכולת לפעול בתוך מצבים סותרים, ואם חפצה נפשה של האנושות לייצר בינה, הרי יהא עליה למצוא דרך ללמד מחשב להתאבד או לרצוח או שניהם, ובאופן פחות קיצוני - להמשיך לפעול גם כאשר מגיע הוא ללופ איגיון אינסופי המצוי בתוך הקוד שעל פיו הוא פועל. זו בינה. בינה מלאכותית היא לפעול אך ורק על פי היגיון. בתוך כל הדברים הללו מצוי הסבר נפלא לאודיסיאה בחלל 2001, ואולי בעתיד אעלה את הפרשנות לסרט על עמוד הספר.
נמצא איפוא, שבלימודו את תורת ההגיון, ובתוך זה לימוד פרדוקסן, לומד האדם את עצמו, כשם שעושה תמיד, בכל פרט ופרט אשר יתהווה או ייעשה תחת השמש או תחת גלגל הירח (הידעת? בפילוסופיה של ימי הביניים חלקו החכמים את השמים לגלגלים, כמו שכבות בצל, והגלגל הנמוך ביותר נקרא גלגל הירח. מתחת לגלגל הנמוך ביותר הציבו אותם פילוסופים את כדור הארץ, וכינוהו "העולם שמתחת לגלגל הירח", שהוא שם נפלא לספר, שיר, פסל, כיתוב על מצבה וכיוצא באלה).
הספר מציג פרדוקסים שונים - חלקם מובהקים וחלקם מובהקים פחות. נמצא כאן למשל פרדוקסים של תנועה (החץ, הצב), של התייחסות עצמית (אני תמיד משקר), של זמן, ושל פילוסופיה של המדע. הכותבת מתעכבת על פרדוקס העורבים, שעל פיו כל העורבים שחורים, או, כך ממשיך הפרדוקס - כל מה שאיננו עורב איננו שחור. שתי הטענות הללו שקולות, כך אנו לומדים מתורת ההיגיון (כלומר - אם טענה א' נכונה הרי שב' בהכרח נכונה, ואם וטענה ב' נכונה, הרי מכריחה את נכונות טענה א'). מתוך כל זה על־כן ניתן לצפות שמה שיחזק את הטענה האחת, יחזק גם את האחרת, באשר הן טענות שקולות. פרדוקס העורב טוען שאם אנו רואים מרחוק איזה חפץ לבן, ואנו חושדים שדבר זה הוא עורב, עלינו ללכת ולבדוק את הממצא החשוד. אם כן, הולכים ובודקים, ומתגלה כי אותו לובן חשוד הוא נעליים לבנות. אהה, צווחים אנו בחדווה, אלה נעליים לבנות, זה לא עורב בכלל. מכאן אנו מחזקים את הטענה השנייה - שכל מה שאינו שחור - אינו עורב. אבל אם אנו מחזקים את הטענה השנייה, והיא שקולה לראשונה, נמצאנו טוענים כי נעליים לבנות מחזקות את הטענה שכל העורבים שחורים וזה קצת אידיוטי. שומו שמיים, הייתכן?
ובכן, כותב שורות אלה, שטוב מותו מחייו, בא עם פתרון לפרדוקס העורבים, והריהו מובא לפניכם בפירוט רב.
פרדוקס העורבים והפתרון האינסופי:
טענה:
כל העורבים שחורים.
טענות שקולות:
1. אין עורב שאיננו שחור.
2. כל מה שאיננו שחור, איננו עורב. (או: אם זה לא שחור, זה לא עורב)
מדוע טענות אלו שקולות?
משום שאם אחת מהן נכונה, הרי שגם האחרות נכונות, ולהיפך.
כעת, אנו מניחים שתי הנחות, או נצמדים לשני עקרונות:
1. מקרים פרטיים מחזקים טענות כלליות. ככל שירבו מקרים פרטיים כלשהם, כך נוכל לטעון טענה כללית בגינם.
2. טענות שקולות יקבלו חיזוק מאותם המקרים הפרטיים.
כלומר, אם ראיתי עורב אחד שחור, הרי שעובדה זו תאשש את טענת המקור וגם את שתי הטענות השקולות לה.
או: אם מקרה פרטי א' מאשש טענה A, הרי שמקרה פרטי א' מאשש גם טענה שקולה לה A1.
נתמקד ביחסים שבין טענה שקולה 2 (כל מה שאיננו שחור איננו עורב) לטענת המקור (כל העורבים שחורים).
נצייר בדימיוננו מצב שבו אנו רואים מרחוק איזה דבר לבן. אנו חושדים בדבר לבן זה שהוא עורב, ובכך הוא מפריך את כל הטענות. אנו מתקרבים לדבר זה ומגלים כי הוא נעל. נעל לבנה. מיד מתפוגגות חשדותינו ואנחת רווחה עצומה נפלטת מפינו. "זה איננו עורב", אנו קוראים בצהלה וברינה, "זו נעל".
[הערה: החשד שעלה בנו הוא בעייתי עד מאד, שכן הטענה סותרת את החשד המיותר שעולה בנו. לו היינו מקבלים את הטענות כפשוטן, ועובדים איתן כמות שהן, הרי שמראש לא היינו מגיעים לנקודה הבעייתית, הכביכול פרדוקסלית. שהרי אם כך, הרי שכל טענה איננה בטוחה. דוגמא:
טענה: אפרת אוהבת את שמר.
טענה: שמר אוהב את ניצן.
מסקנה: אפרת מתוסכלת.
כעת נבדוק שוב את הטענות, ונטיל בהן ספק. אולי אפרת לא אוהבת את שמר. אז המסקנה שגויה, כי אם היא לא אוהבת את שמר, אז היא לא מתוסכלת. או אולי שמר לא אוהב את ניצן. מי יודע. אולי שמר אוהב את אפרת. אולי הוא לא אוהב אף אחת. ואולי כל הטענות נכונות, אבל אפרת לא מתוסכלת. אולי היא מאושרת באהבתם של שני חבריה.
כלומר, מה שמפריע לי היא השרירותיות שבה אנו מטילים ספק באחת הטענות או בכולן. כך סתם, אנו חושדים פתאום שאולי הדבר הלבן הוא עורב. בלי שום סיבה ובלי שום הסבר. לפיכך "הפרדוקס" שלנו, (מרכאות משום שהוא אינו פרדוקס קלאסי), מתעורר בגלל "עבירה" שלנו, בגלל שכך סתם, בלי שום סיבה, החלטנו לכפות על השדה הלוגי (השדה שבו עולות הטענות) מציאות יומיומית, אנושית. זה מקור הצרות שבכאן, ויש להכיר בכך. אעפ"כ, במקרה זה החקירה של העניין הביאה איתה לימוד חדש, ועל־כן יצא הפסדנו בשכרנו. עד כאן הערה.]
אז נחזור לענייננו ונזכר כי בדקנו את הדבר, וכי הוא איננו עורב, ועל־כן הטענות בטוחות, לעת עתה.
אנו בוחנים את האירוע שוב. ראינו דבר לבן. על פי טענה שקולה 2, יכולים היינו להסיק מייד שאין זה עורב, כי טענה שקולה 2 טוענת שכל מה שאיננו שחור איננו עורב. אף על פי כן, עלו בנו חשדות שאולי הדבר הלבן מפריך את הטענה, ונאלצנו לבדוק את הדבר לאשורו.
משבדקנו נמצא כי הדבר איננו עורב, אלא נעליים. לפיכך טענה שקולה 2 אמיתית, ומעמדה כאמיתית איתן ויציב.
אך אבוי, נוצר כאן מצב בעייתי.
בדקנו מקרה פרטי שנתן אישוש לטענה שקולה 2.
אם הטענות כולן שקולות, הרי שמקרה פרטי זה חייב לתת אישוש גם לשאר הטענות.
מכאן נובע ש
נעליים לבנות מאששות את הטענה שכל העורבים שחורים.
והרי זה אבסורד.
שאם כך, הרי שארנק ורוד, שמלה פרחונית, שמיים אפורים ומרקים כתומים מאששים גם הם את הטענה שכל העורבים שחורים.
ואנו שואלים: האמנם?
ועוד אנו שואלים: מה ניתן לעשות עם זה?
פתרון אחד, לקבל את המסקנה מרחיקת הלכת. כלומר, אנו מקבלים את זה שנעליים לבנות (וכאמור, כל פריט צבעוני אחר), מחזקות את הטענה שכל העורבים שחורים.
פתרון שני, לדחות את העקרון שמקרים פרטיים מאששים השערות או טענות כלליות.
פתרון שלישי, לדחות את העקרון שעל פיו מה שמאשש טענה אחת, מאשש גם את הטענה השקולה לה.
נמצא מי שמקבל את הפתרון הראשון, נמצא מי שמקבל את הפתרון השני, ונמצאים גם אלה אשר מקבלים את הפתרון השלישי. כל אחד מהם מחזק את פתרונו באופנים כאלה ואחרים, והם טובים לשיטתם.
ואנו, מה איתנו?
אנו נעשה כך:
נקביל את הטענה שכל העורבים שחורים לטענה אחרת:
כל (2+3) הם 5.
ובנוסחה, כפי שלמדנו בכיתה:
5=(2+3)
מדוע זה לגיטימי? כי טענת העורבים טוענת שכל א' הוא ב', וטענת המספרים טוענת טוענת שכל א' הוא ב'.
עכשיו נכתוב את הטענה השקולה לה:
כל מה שאיננו 5, איננו (2+3)
טענה זו מקבילה לטענה שכל מה שאיננו שחור איננו עורב.
אם נכתוב זאת באופן נוסחתי, הרי שנכתוב כך:
{.......1,2,3,4,6,7,8,9} ≠ (2+3)
מה שנמצא בתוך הסוגריים המסולסלים הוא כל המספרים שאינם חמש, או "כל מה שאיננו 5".
הטענה הזו נכונה באופן מוחלט, כשהיא נלקחת בשלמותה.
למעשה סיימנו, באשר הבענו את מה שצריך הבעה, אבל ברי כי צריך להסביר.
האמירה שנעליים לבנות, (שהן פריט אחד מתוך האינסוף שאינו שחור), מחזקות את הטענה שכל העורבים שחורים, ניתנת להקבלה לאמירה
ש – 7 (שהוא פריט אחד מתוך האינסוף שאיננו חמש) מחזק את הטענה על פיה 5=2+3.
כלומר, מה שעשינו הוא להקביל את נעליים לבנות ל – 7.
מרקים כתומים יהיו 8, וארנקים ורודים יהיו 642, למשל.
כלומר, לקחנו פריט אחד מתוך האינסוף, שהוא (האינסוף) - ורק הוא - מקיים את הטענה בנכונותה, והענקנו לו משקל עצום. והרי פריט אחד מתוך האינסוף, משקלו אפסי, בלתי מורגש (אם כי חשוב), ולכן הוא לבדו איננו מחזיק את הטענה כולה. רק הכלל בשלמותו מחזיק את הטענה כולה.
התיאור הזה מסביר את תחושת אי הנוחות העולה בנו, נוכח האמירה שנעליים לבנות מחזקות את הטענה שכל העורבים שחורים.
ומכאן עולה הפתרון הנפלא: הטענות אינן שקולות כלל וכלל.
הטענה הראשונה היא על עורבים. היא טענה על תכונות של פרטים כלשהם בתוך המציאות.
הטענה השניה היא טענה על הכלליות, על האינסוף.
מה שחשוב בטענה הראשונה הוא הנושא שלה, העורבים.
ואילו מה שחשוב בטענה המקבילה הוא הנושא שלה – כל (ואפשר גם לשקול כנושא את "כל מה שאיננו שחור")
תיבות "כל" המופיעות הן בטענת "כל העורבים שחורים", והן בטענת "כל מה שאיננו שחור" וכו', הן אינן אותן תיבות, והדמיון בניהן איננו תוכני כי אם צורני בלבד.
תיבת "כל" הראשונה היא מוגבלת, פרטית, ואילו השניה אינסופית, לא מוגבלת, כללית.
לפיכך יקרא פתרון זה הפתרון האינסופי, כפי שמופיע בכותרת הדברים.
