ביקורת ספרותית על A History of Pi מאת Petr Beckmann

---

דברים שכתבתי בדף הפייסבוק שלי "עושה חשבון פשוט".

בכתיבה האמריקאית של התאריכים, החודש מגיע לפני היום. כך האחד עשר בספטמבר נקרא "nine eleven" וכך היום ה-14 בחודש מרס נכתב 3.14 שהן הספרות הראשונות בפיתוח העשרוני של הקבוע המתמטי פאי (π), ולכן אנשים רבים, בעיקר מתמטיקאים אבל לא רק, מציינים ביום הזה את "יום הפאי".
שתי הספרות הבאות בפיתוח העשרוני של הקבוע פאי הן 15 (3.1415, אפשר לבדוק בכל מחשבון מדעי), ולכן יום הפאי השנה, 3.14.15 בכתיבה האמריקאית, נחשב למיוחד מבין ימי הפאי, יום ה"סופר-פאי". מי שמאוד מדייק ממשיך את הספרות בפיתוח העשרוני, ומציין את הדקה המיוחדת 9:26.
כפרומו לחגיגות כמה מילים על הפאי. ובעיקר מענה לשאלות הבסיסיות: מה זה פאי, למה חוגגים לו, ולמה קוראים לו בשם של עוגה?
ובכן, בראש ובראשונה מדובר על תגלית גיאומטרית, וזו תגלית עתיקה מאוד. כבר לפני אלפי שנים גילו אנשים שבכל המעגלים בעולם היחס שבין היקף המעגל לקוטר שלו הוא קבוע. זו אמת פיזית שנבדקה הרבה, מול הרבה מעגלים. במעגל גדול הקוטר גדול וכך גם ההיקף, במעגל קטן ההיקף קטן, אבל כך גם הקוטר. היחס הזה גם אומר שאם ניקח מעגל, ונגדיל את הקוטר שלו פי שניים, ההיקף שלו יגדל בהתאמה פי שניים. ליחס הזה, המספר הקבוע שהוא התוצאה של חלוקת היקף מעגל בקוטר שלו, החליטו במאה השמונה עשרה בערך לקרוא "פאי" שזו אות באלפא-ביתא היווני.
המספר הזה, פאי, הוא לא מספר פשוט. בשפה המתמטית אומרים שהוא "לא רציונלי", והמשמעות היא שאי אפשר לכתוב אותו כמנה של שני מספרים שלמים. נכון שבבית הספר לימדו אותנו שפאי הוא 3 ושביעית, או 22/7, אבל זה רק קירוב, הערכה, ועוד הערכה גסה למדי, ולא המספר האמיתי. בתפיסה התרבותית של החוקרים המתמטיים ביוון העתיקה זה משבר גדול למדי, משום שהם האמינו, או לפחות רצו מאוד להאמין, שכל הגדלים בעולם הם מספרים שלמים או יחסים בין מספרים שלמים. מספרים אי רציונליים לא מסתדרים עם תפיסת העולם הזאת. בתפיסת המתמטיקה היום זה לא מפריע, ואולי אפילו מפרה, אבל מן הסתם יש אמונות ותפיסות עולם אחרות שבהם אוחזים בלי סיבה אמיתית.
בכתיב עשרוני, כלומר כזה עם נקודה עשרונית ולא עם קו שבר, מספר אי רציונלי הוא מספר שבו יש אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, והספרות האלה אינן מקיימות שום צורה של מחזוריות. המספר 1/8 נכתב בכתיב עשרוני 0.125 - שלוש ספרות אחרי הנקודה. המספר 1/3 נכתב ...33333. 0 ושלוש הנקודות מציינות את זה שספרות ה-3 נמשכות לאינסוף, אבל הן תמיד 3. כלומר הכתיב העשרוני של 1/3 מכיל אינסוף ספרות, אבל מאחר ויש מחזוריות, היא מייצגת את הרציונליות של המספר (שהוא באמת מנה של שני מספרים שלמים: 1 ו-3). ובכן פאי הוא שונה. הפיתוח העשרוני שלו מכיל אינסוף ספרות ובגלל שאין בהן מחזוריות, אין דרך אמיתית לחזות אותן.
באלפיים השנים האחרונות נמצאים תמיד אנשים שמשקיעים מאמצים רבים בחישוב קירובים גדולים והולכים של פאי, כלומר עוד ועוד ספרות בפיתוח העשרוני שלו. אין בזה שום טעם מעשי, כי לכל חישוב פרקטי שניתן להעלות על הדעת די ב-40 ספרות אחרי הנקודה לכל היותר. אבל אנשים עושים את זה מאותה סיבה שרצים מרתון או מתחרים בכל ספורט אתגרי אחר: זה אתגר, זה כיף, זה מזין את הנטייה האנושית לשבירת שיאים. בנוסף השיטות שננקטות במטרה לחשב את פאי מסייעות לפיתוח כלים מתמטיים נוספים. אבל זה בעיקר אתגר, וכיף, וזהו. לרוב האנשים שאוהבים מתמטיקה זה מספיק.
אפילו הלחינו את זה. האזינו:
http://www.youtube.com/watch?v=eDiSYp_51iY&spfreload=10
(זו הגירסה הקצרה, והיא נמשכת כדקה. יש גם גירסה שבה נאמרות הספרות במשך שעה, ואפשר להמשיך הלאה והלאה. זו המשמעות של "אינסופי". אין לו סוף)
והנה עוד הלחנה, הפעם המרת הספרות לתווים ונגינה על פסנתר. אני חייבת להודות שהתוצאה מעניינת:
http://www.youtube.com/watch?v=OMq9he-5HUU&spfreload=10
פאי נמצא בנוסחת היקף מעגל (הקוטר כפול פאי), אבל גם נוסחת שטח מעגל (הרדיוס בריבוע כפול פאי), וזה בפני עצמו מפתיע אותי. מתברר שההפתעות נמשכות הלאה , ופאי עולה וצץ בכל מיני מחוזות מפתיעים במתמטיקה, גם כאלה שלא ממש קשורים למעגל. מכאן החשיבות והמרכזיות שלו במתמטיקה, ולכן גם ראוי להמציא לו יום מיוחד. למעשה יש יותר מיום אחד, כי אנשים מציינים גם את העשרים ושניים ביולי (22/7) בתור "יום קירוב הפאי". אבל חגיגות זה תמיד טוב, לא?
אז שיהיה לכם יום פאי שמח!

» ביקורות נוספות של נצחיה
» ביקורות נוספות על A History of Pi