“מי נחשב לגדול המתמטיקאים של המאה ה 20? לפי השבועון טיים, זהו קורט גדל. הספר מתאר את חייו ואת תגליתו הגדולה בתחום הלוגיקה המתמטית: משפטי האי-שלמות של גדל. קורט גדל (1906-1978) היה לוגיקאי ומתמטיקאי אוסטרי, לא יהודי. בגיל 18 התחיל את לימודיו באוניברסיטת וינה, שם לקח קורסים בפיסיקה, במתמטיקה ובפילוסופיה, כשבסופו של דבר התמקד בלוגיקה מתמטית. כסטודנט מבריק, הוא צורף לחוג הווינאי - קבוצת פילוסופים שהתקבצה בווינה החל ב-1928 סביב הפילוסוף מוריץ שליק. מרביתם היו יהודים. חברי החוג הם שייסדו את האסכולה הפילוסופית הידועה כפוזיטיביזם לוגי. לכל חברי החוג, לבד מגדל, הייתה גישה משותפת לפילוסופיה, שעיקרה הגישה שהניסיון הוא מקור הידיעה היחידי ושניתוח לוגי בסיוע לוגיקה סימבולית הוא הדרך המועדפת לפתרון בעיות פילוסופיות. גדל היה טיפוס ביישן ומופנם. הוא לא אהב להביע את דעותיו אם לא הייתה לו הוכחה להן. גדל היה אפלטוניסט. הוא התנגד במובהק לפוזיטיביזם הלוגי ולתפיסותיו של לודוויג ויטגנשטיין שזכה לעדנה מיוחדת בקרב חברי החוג. אבל הוא לא הציג את התנגדותו בחוג זה. מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך תחושה שכל טענה מתמטית ניתנת להוכחה או, לחלופין, להפרכה (כלומר הוכחת אי נכונות הטענה). בשנת 1900, בקונגרס הבינלאומי השני של המתמטיקאים, נשא הילברט, מגדולי המתמטיקאים בימיו, את נאום הפתיחה ובו מנה את 23 הבעיות שנראו לו החשובות ביותר לפתרון במאה ה-20. הבעיה השנייה ברשימה היתה להוכיח את עקביותה של האריתמטיקה (שלא ניתן להוכיח באריתמטיקה דבר והיפוכו עם האקסיומות של האריתמטיקה). בשנת 1931 הוכיח גדל, במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינציפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שבכל מערכת אקסיומות עקבית לאריתמטיקה, המקיימת את התנאי שיש אלגוריתם (תוכנית מחשב, בלשון ימינו) שמחליט לכל נוסחה אם היא אקסיומה או לא, קיימת טענה אריתמטית שהיא גם אמיתית וגם בלתי ניתנת להוכחה (או להפרכה) במסגרת המערכת הפורמלית שבה אנו עוסקים. זהו משפט האי-שלמות הראשון של גדל. כתוצאה מכך מתקבל משפט האי-שלמות השני של גדל, שמתייחס לבעיה השנייה שהציג הילברט: העקביות של האריתמטיקה בלתי ניתנת להוכחה. אלו הם משפטי האי-שלמות של גדל, משפטים שהם אבני פינה של הלוגיקה המתמטית המודרנית. גדל חשב את משפטי האי-שלמות כאפלטוניסטיים במובהק, אך הוא לא הפגין כמעט את התנגדותו לפרשנות הפוזיטיביסטית לה הם זכו, פרט לשיחות אישיות. באופן כללי, הוא לא הסכים להביע דעות בסביבה עוינת, והאמין שהצגתם של רעיונות לא בשלים, במיוחד לקהל עוין, תהיה לא הוגנת כלפי הרעיונות עצמם. עם עליית הנאציזם בגרמניה, הוזמן גדל לבקר במכון למחקר מתקדם שבפרינסטון, לאחר שפון נוימן התרשם מהישגיו בלוגיקה. כשחזר גדל לאוסטריה, סבל מהתמוטטות עצבים ואושפז. בשנת 1936 רצח סטודנט נאצי את מוריץ שליק, מייסד החוג הווינאי, אשר עורר בגדל את העניין בלוגיקה. המאורע השפיע רבות על גדל, והוא סבל שוב מהתמוטטות עצבים. את רוב שנת 1936 בילה בבתי חולים לחולי נפש בווינה. בקיץ 1939 נבדק ונמצא - במפתיע - כשיר לשירות צבאי. בסמוך לכך הוכה ברחוב על ידי חבורת נאצים, שחשבו כי הוא יהודי. כדי להמשיך ללמד באוניברסיטה, נדרש גדל להצהיר כי אינו יהודי, וסירב. בינואר 1940 החליטו גדל ואשתו לעזוב את אוסטריה, למכון למחקר מתקדם, מחשש שגדל יגויס לצבא הגרמני. עקב המצור הימי הבריטי הם הוכרחו לנסוע דרך הרכבת הטרנס-סיבירית ליפן ומשם לארצות הברית. גדל השתקע בפרינסטון, ומאותה עת עזב את המכון רק לעיתים רחוקות. שם פגש את אלברט איינשטיין והפך לידידו הקרוב. בשנת 1940 הגיע להישג חשוב נוסף, כשהוכיח שאקסיומת הבחירה והשערת הרצף אינן סותרות את האקסיומות האחרות של תורת הקבוצות. בשנת 1948 קיבל גדל אזרחות אמריקאית. אנקדוטה מספרת שלאחר שגדל למד את עקרונות החוקה לקראת הבחינה לקבלת אזרחות, הוא סיפר לאוסקר מורגנשטרן שמצא פרצה בחוקה האמריקאית שיכולה לאפשר לדיקטטור להשתלט על המדינה באופן חוקי. מורגנשטרן ואיינשטיין ליוו את גדל לראיון ומבחן הקבלה לאזרחות, ובמהלך המבחן סיפר גדל לשופט שערך את הבחינה על הפרצה שגילה. למזלו של גדל, השופט, שהיה מכר של איינשטיין, מיהר להסב את השיחה לנושאים מקובלים יותר, ובסיום הריאיון העניק לגדל את הגושפנקה הנחוצה לקבלת אזרחות. גדל היה ביישן ביותר. רתיעתו מהחצנה וחששותיו מהחברה באו לידי ביטוי במשך כל חייו, ועלו בקנה אחד עם הפראנויה שלו. בכל חייו היו לו רק קשר חברות עמוק אחד - עם אלברט איינשטיין. גדל ואיינשטיין היו קרובים מאוד זה לזה, הן מבחינה אינטלקטואלית והן מבחינה חברתית, ומוזרויותיו של גדל, ובראשן האקסיומה שהציב לעצמו לפיה שום דבר בעולם לא קורה בשל מקריות או טיפשות אנושית, לא הפריעו לאיינשטיין ואף שעשעו אותו, והוא מצא בגדל בן שיח אמיץ. איינשטיין העיד שבשנותיו האחרונות עבודתו כבר לא הייתה חשובה לו, אך הוא בא למכון למחקר מתקדם רק כדי ללוות את גדל לביתו ולשוחח איתו. מלבד איינשטיין, הייתה לו ידידות אמיצה עם אוסקר מורגנשטרן, שהתחזקה לאחר מותו של איינשטיין. כמו כן, הוא היה ידיד של ג'ון פון ניומן, שהפיץ את משפטי אי השלמות שלו ועזר לו רבות בקידום הקריירה שלו ורעיונותיו. בערוב ימיו התעוררה בו דאגה גוברת לבריאותו, והוא פיתח פראנויה שהתבטאה בחשש שמנסים להרעילו. הוא סירב לאכול כל מזון שלא הוכן בידי אדלה אשתו, וכשנכנסה אדלה לבית חולים לשישה חודשים, הפסיק לאכול כליל, עד שבסופו של דבר נפטר מתת-תזונה ב 1978. בסוף ימיו פחת משקלו עד לכ-30 קילוגרם, ובתעודת הפטירה שלו נכתב שמותו נגרם "כתוצאה מתת-תזונה וחולשה קיצונית שמקורן בהפרעת אישיות". משפט האי-שלמות של גדל מוכר בוודאי למי שקרא את הספר "הדוד פטרוס והשערת גולדבך". סיפור אחר של גאונות ופרנויה מוכר למי שקרא על חייו של ג'ון נאש בספר "נפלאות התבונה". גדל נחשב לאחד מגדולי הלוגיקאים של כל הזמנים. על שמו מוענק פרס גדל לציון הישגים יוצאי דופן בתחום התאוריה של מדעי המחשב. ספר מעניין על סיפור חיים מעניין. מה שהפריע לי קצת בספר היתה ההתעמקות הרחבה יחסית בנושאי פילוסופיה, בעיקר בחלקו הראשון של הספר – לכן רק 4 כוכבים.”

“משפטי אי השלמות של גדל לא תמיד מובנים. כאשר קוראים בספרי מתמטיקה מלאי נוסחאות רק מתי מעט יבינו, רק אלה שהמתטמיקה היא שפתם. אולם אלה שלא בקיאים בנוסחאות ובשפה המתמטית על בוריה אבל נהנים בכל זאת מיופיה של המתמטיקה ימצא דרך נעימה, שנכתבה בטוב טעם הסבר לכל נפש חפצה על משפטי אי השלמות של גדל, שעוררו מהמפכה בעולם הלוגי של המתמטיקה. בהחלט אפשר להינות מהספר.”

“מי נחשב לגדול המתמטיקאים של המאה ה 20? לפי השבועון טיים, זהו קורט גדל. הספר מתאר את חייו ואת תגליתו הגדולה בתחום הלוגיקה המתמטית: משפטי האי-שלמות של גדל. קורט גדל (1906-1978) היה לוגיקאי ומתמטיקאי אוסטרי, לא יהודי. בגיל 18 התחיל את לימודיו באוניברסיטת וינה, שם לקח קורסים בפיסיקה, במתמטיקה ובפילוסופיה, כשבסופו של דבר התמקד בלוגיקה מתמטית. כסטודנט מבריק, הוא צורף לחוג הווינאי - קבוצת פילוסופים שהתקבצה בווינה החל ב-1928 סביב הפילוסוף מוריץ שליק. מרביתם היו יהודים. חברי החוג הם שייסדו את האסכולה הפילוסופית הידועה כפוזיטיביזם לוגי. לכל חברי החוג, לבד מגדל, הייתה גישה משותפת לפילוסופיה, שעיקרה הגישה שהניסיון הוא מקור הידיעה היחידי ושניתוח לוגי בסיוע לוגיקה סימבולית הוא הדרך המועדפת לפתרון בעיות פילוסופיות. גדל היה טיפוס ביישן ומופנם. הוא לא אהב להביע את דעותיו אם לא הייתה לו הוכחה להן. גדל היה אפלטוניסט. הוא התנגד במובהק לפוזיטיביזם הלוגי ולתפיסותיו של לודוויג ויטגנשטיין שזכה לעדנה מיוחדת בקרב חברי החוג. אבל הוא לא הציג את התנגדותו בחוג זה. מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך תחושה שכל טענה מתמטית ניתנת להוכחה או, לחלופין, להפרכה (כלומר הוכחת אי נכונות הטענה). בשנת 1900, בקונגרס הבינלאומי השני של המתמטיקאים, נשא הילברט, מגדולי המתמטיקאים בימיו, את נאום הפתיחה ובו מנה את 23 הבעיות שנראו לו החשובות ביותר לפתרון במאה ה-20. הבעיה השנייה ברשימה היתה להוכיח את עקביותה של האריתמטיקה (שלא ניתן להוכיח באריתמטיקה דבר והיפוכו עם האקסיומות של האריתמטיקה). בשנת 1931 הוכיח גדל, במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינציפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שבכל מערכת אקסיומות עקבית לאריתמטיקה, המקיימת את התנאי שיש אלגוריתם (תוכנית מחשב, בלשון ימינו) שמחליט לכל נוסחה אם היא אקסיומה או לא, קיימת טענה אריתמטית שהיא גם אמיתית וגם בלתי ניתנת להוכחה (או להפרכה) במסגרת המערכת הפורמלית שבה אנו עוסקים. זהו משפט האי-שלמות הראשון של גדל. כתוצאה מכך מתקבל משפט האי-שלמות השני של גדל, שמתייחס לבעיה השנייה שהציג הילברט: העקביות של האריתמטיקה בלתי ניתנת להוכחה. אלו הם משפטי האי-שלמות של גדל, משפטים שהם אבני פינה של הלוגיקה המתמטית המודרנית. גדל חשב את משפטי האי-שלמות כאפלטוניסטיים במובהק, אך הוא לא הפגין כמעט את התנגדותו לפרשנות הפוזיטיביסטית לה הם זכו, פרט לשיחות אישיות. באופן כללי, הוא לא הסכים להביע דעות בסביבה עוינת, והאמין שהצגתם של רעיונות לא בשלים, במיוחד לקהל עוין, תהיה לא הוגנת כלפי הרעיונות עצמם. עם עליית הנאציזם בגרמניה, הוזמן גדל לבקר במכון למחקר מתקדם שבפרינסטון, לאחר שפון נוימן התרשם מהישגיו בלוגיקה. כשחזר גדל לאוסטריה, סבל מהתמוטטות עצבים ואושפז. בשנת 1936 רצח סטודנט נאצי את מוריץ שליק, מייסד החוג הווינאי, אשר עורר בגדל את העניין בלוגיקה. המאורע השפיע רבות על גדל, והוא סבל שוב מהתמוטטות עצבים. את רוב שנת 1936 בילה בבתי חולים לחולי נפש בווינה. בקיץ 1939 נבדק ונמצא - במפתיע - כשיר לשירות צבאי. בסמוך לכך הוכה ברחוב על ידי חבורת נאצים, שחשבו כי הוא יהודי. כדי להמשיך ללמד באוניברסיטה, נדרש גדל להצהיר כי אינו יהודי, וסירב. בינואר 1940 החליטו גדל ואשתו לעזוב את אוסטריה, למכון למחקר מתקדם, מחשש שגדל יגויס לצבא הגרמני. עקב המצור הימי הבריטי הם הוכרחו לנסוע דרך הרכבת הטרנס-סיבירית ליפן ומשם לארצות הברית. גדל השתקע בפרינסטון, ומאותה עת עזב את המכון רק לעיתים רחוקות. שם פגש את אלברט איינשטיין והפך לידידו הקרוב. בשנת 1940 הגיע להישג חשוב נוסף, כשהוכיח שאקסיומת הבחירה והשערת הרצף אינן סותרות את האקסיומות האחרות של תורת הקבוצות. בשנת 1948 קיבל גדל אזרחות אמריקאית. אנקדוטה מספרת שלאחר שגדל למד את עקרונות החוקה לקראת הבחינה לקבלת אזרחות, הוא סיפר לאוסקר מורגנשטרן שמצא פרצה בחוקה האמריקאית שיכולה לאפשר לדיקטטור להשתלט על המדינה באופן חוקי. מורגנשטרן ואיינשטיין ליוו את גדל לראיון ומבחן הקבלה לאזרחות, ובמהלך המבחן סיפר גדל לשופט שערך את הבחינה על הפרצה שגילה. למזלו של גדל, השופט, שהיה מכר של איינשטיין, מיהר להסב את השיחה לנושאים מקובלים יותר, ובסיום הריאיון העניק לגדל את הגושפנקה הנחוצה לקבלת אזרחות. גדל היה ביישן ביותר. רתיעתו מהחצנה וחששותיו מהחברה באו לידי ביטוי במשך כל חייו, ועלו בקנה אחד עם הפראנויה שלו. בכל חייו היו לו רק קשר חברות עמוק אחד - עם אלברט איינשטיין. גדל ואיינשטיין היו קרובים מאוד זה לזה, הן מבחינה אינטלקטואלית והן מבחינה חברתית, ומוזרויותיו של גדל, ובראשן האקסיומה שהציב לעצמו לפיה שום דבר בעולם לא קורה בשל מקריות או טיפשות אנושית, לא הפריעו לאיינשטיין ואף שעשעו אותו, והוא מצא בגדל בן שיח אמיץ. איינשטיין העיד שבשנותיו האחרונות עבודתו כבר לא הייתה חשובה לו, אך הוא בא למכון למחקר מתקדם רק כדי ללוות את גדל לביתו ולשוחח איתו. מלבד איינשטיין, הייתה לו ידידות אמיצה עם אוסקר מורגנשטרן, שהתחזקה לאחר מותו של איינשטיין. כמו כן, הוא היה ידיד של ג'ון פון ניומן, שהפיץ את משפטי אי השלמות שלו ועזר לו רבות בקידום הקריירה שלו ורעיונותיו. בערוב ימיו התעוררה בו דאגה גוברת לבריאותו, והוא פיתח פראנויה שהתבטאה בחשש שמנסים להרעילו. הוא סירב לאכול כל מזון שלא הוכן בידי אדלה אשתו, וכשנכנסה אדלה לבית חולים לשישה חודשים, הפסיק לאכול כליל, עד שבסופו של דבר נפטר מתת-תזונה ב 1978. בסוף ימיו פחת משקלו עד לכ-30 קילוגרם, ובתעודת הפטירה שלו נכתב שמותו נגרם "כתוצאה מתת-תזונה וחולשה קיצונית שמקורן בהפרעת אישיות". משפט האי-שלמות של גדל מוכר בוודאי למי שקרא את הספר "הדוד פטרוס והשערת גולדבך". סיפור אחר של גאונות ופרנויה מוכר למי שקרא על חייו של ג'ון נאש בספר "נפלאות התבונה". גדל נחשב לאחד מגדולי הלוגיקאים של כל הזמנים. על שמו מוענק פרס גדל לציון הישגים יוצאי דופן בתחום התאוריה של מדעי המחשב. ספר מעניין על סיפור חיים מעניין. מה שהפריע לי קצת בספר היתה ההתעמקות הרחבה יחסית בנושאי פילוסופיה, בעיקר בחלקו הראשון של הספר – לכן רק 4 כוכבים.”

“משפטי אי השלמות של גדל לא תמיד מובנים. כאשר קוראים בספרי מתמטיקה מלאי נוסחאות רק מתי מעט יבינו, רק אלה שהמתטמיקה היא שפתם. אולם אלה שלא בקיאים בנוסחאות ובשפה המתמטית על בוריה אבל נהנים בכל זאת מיופיה של המתמטיקה ימצא דרך נעימה, שנכתבה בטוב טעם הסבר לכל נפש חפצה על משפטי אי השלמות של גדל, שעוררו מהמפכה בעולם הלוגי של המתמטיקה. בהחלט אפשר להינות מהספר.”