לפני מספר חודשים התפרסמה בעיתון גלובס, חידה מתוך הספר תורת המשחקים של דר' חיים שפירא. מדובר על פרדוקס מונטי הול, המופיע בעמוד 115. מצאתי שכל הסיפור בטעות יסודו. הסיפור בנוי על תופעה, שהתפרסמה בארץ בתכנית טלוויזיה בשם "עשינו עסק". בתכנית שלושה וילונות, באחד מהם יש פרס. לאחד המשתתפים ניתנת האפשרות לבחור באחד הוילונות. לאחר שהוא בחר וילון, פותח המנחה אחד משני הוילונות שלא נבחרו על ידי המשתתף, ומאפשר לו לשנות את בחירתו. היה והמשתתף נשאר בבחירה המקורית, הסיכוי שלו לזכות בפרס הוא 33% עם המשתתף בחר לעבור לוילון השני, זה שעליו לא הצביע המנחה, הסיכוי הוא 66%. לשם ההפשטה לא הוספתי את חלקי האחוזים.
בחידת האסירים אותה פרסם דר' שפירא בספרו תורת המשחקים, שלושה אסירים. אחד מהם נידון למוות. איננו יודעים מי מהם. שני אסירים נרדמו, והשומר מגלה לאסיר הער את שמו של אחד משני האסירים הישנים, כאחד מהיוצאים לחופשי. לגרסתו של הדר' המלומד, סיכויו של הישן השני, (כמו במקרה הוילונות) להיות מוצא להורג, הוא 66% .
לשם בחינת התיזה נבחן כמה מצבים מהם ניתן להסיק שהתוצאה איננה נכונה.
א. נניח שהאסירים כלואים בתאים נפרדים, אין להם אפשרות לתקשר ביניהם, וכל אחד מהם בתורו שואל מי משני האסירים האחרים ישוחרר. התוצאה תהיה, שהסיכוי הכפול, ידלג עם כל שאלה מאסיר לאסיר.
ב. אם התיזה מבוססת על איחוד הסיכוי של שני האסירים שלא שאלו את השומר, הרי באותה מידה שלשניים סיכוי כפול להיתלות, גם סיכוי כפול לצאת לחופשי, מכאן שאין משמעות להכפלת הסיכויים כי הם מקזזים זה את זה.
ג. כאשר השופט דן את אחד משלושת האסירים לתליה, הוא יצר מצב שלכל אחד מהם 33% סיכוי להתנדנד על חבל התליה, או לחזור הביתה. מאחר והאסיר ששאל את השאלה לא יכול לשנות את מצבו לאחר קבלת התשובה, מצבו לא השתנה. אפשר לכל היותר לחשב מחדש את סיכויו, ולהגיע למסקנה שלאחר הוצאת אחד מהם, מתחלק הסיכוי בין השניים הנותרים, כלומר 50% אבל גם זה לא נכון.
למה הדבר דומה, שלושה אנשים משתתפים בהגרלה, בכובע שלושה פתקים מקופלים. באחד מהם פרס. יש הגורסים שכדאי להיות ראשון המושכים, כך הוא בטוח שהפתק עם הזכיה עדיין בכובע. יש הטוענים שלא כדאי למשוך ראשון, כי עם הראשון לא זכה, עולה הסיכוי לזכות ל50%. התשובה הנכונה היא שחישוב הסיכויים חייב לכלול את כל הצעדים, החל ממשיכת הפתק הראשון, מפני שכשהוא משך את הפתק, הוא ניצל את 33% הסיכוי שלו, בין אם הוא זכה ובין אם לא. הוא הדין גם אם יש עשרה אנשים או כל מספר אחר של משתתפים.
אברהם הררי, חנה סנש 23 הרצליה, טל: 0522535396 דואל: abharsun@gmail.com
הוסף תגובה |
קישור ישיר להודעה
