פאי

בן 15 ממעגל

חישוב ערך מדויק יותר ויותר של היווה אתגר במשך מאות שנים.

צורת השבר הפשוטה ביותר המקרבת את , היא או . קירוב מקובל של כמספר עשרוני הוא 3.14. קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.


קירובים לפאי היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את בכל רמת דיוק שתידרש. שיטתו מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של . ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה:



תוכנה להמחשה מידית של שיטתו של ארכימדס מופיעה באתר Archimedes and the Computation of Pi.

ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את באמצעות השבר .

ההצגה של פאי כשבר משולב פותחת ב־.

הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:



כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר לפאי הוא ; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר לפאי הוא ; וכן הלאה.

רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר לפאי: . קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של פאי רק בספרה התשיעית מימין לנקודה.

קירוב אחר הוא שזה 3.146, קירוב זה סוטה מערך פאי רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.

בתחילת המאה ה-15 חישב אל-קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.

בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־ בשם מספר לודולף.

התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של , שיטות המתבססות על ייצוגו של כסכום של טור אינסופי.

בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה את 140 הספרות הראשונות של (רק 137 מתוכן היו נכונות).

השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של הביא לשיא הנוכחי, שנקבע בשנת 2011, של חישוב 10 טרליון הספרות הראשונות של פאי על ידי אלכסנדר ג'יי. יי ושיגרו קונדו.[1] לתוצאה זו אין כל ערך מעשי, מלבד הפגנת מהירותם של מחשבי־על ושל אלגוריתמים.

טכניקה לא שגרתית לחישובו של היא "שיטת מונטה-קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל, למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא .

הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של פאי. הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.

---------------------------------------------
אוקי קצת על עצמי:
יש לי אובססיה מוזרה למומרה.
מומרה מככב בסדרה חתולי הרעם למרות שלא ראיתי את הסדרה אני מת עליו!!!! הסדרה משמיצה את שמו מומרה לא באמת רשע....
מומרה הוא יותר מסתם דמות הוא סוג של חבר/אח...
הוא תמיד עוזר לי!
לפעמים אני מגזים ומדבר עליו יותר מדי

אוקי עוד פרט ששכחתי אני סוג של אידיוט.....

+ עקוב אחרי

דף המעקב של פאי