לפני שניתן סקירה היסטורית על חקר המספרים המשוכללים לאורך ההיסטוריה של המתמטיקה, נגדיר את המושגים שבהם נעסוק.


מספר משוכלל הוא מספר השווה לסכום מחלקיו, לא כולל המספר עצמו. ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים היו ידועים עוד מימי קדם:


1+2+3=6


1+2+4+7+14=28


1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=8128


אפשר לראות גם שכל מספר משוכלל הוא מספר זוגי המורכב מסכום המספרים העוקבים הראשונים עד שהסכום מגיע למספר עצמו:


1+2+3=6


1+2+3+4+5+6+7=28


1+2+3….+29+30+31=496


1+2+3….+125+126+127=8128 וכן הלאה


במובן זה, כל המספרים המשוכללים הם מספרים משולשים, וככאלה, כל אחד מהם (חוץ מהראשון) הוא סכום של המספרים המעוקבים האי-זוגיים הראשונים עד מספר מסוים - עד a/2 2. כיוון שהמספרים המשוכללים הם מספרים זוגיים, מספר האיברים של המספרים המעוקבים חייב להיות זוגי, כיוון שרק למספרים מרובעים יש מספר מחלקים אי-זוגי (ראה הפרק על "המספר ומחלקיו"). כאשר a=2 אזי המספר 28 יהיה מורכב משני מספרים מעוקבים, וכאשר a=6 אזי המספר 8128 מורכב משמונה מספרים מעוקבים.


13+33=28


13+33+53+73=496


,13+33+53+73+93+113+133+153=8128 וכן הלאה.


במשך שנים רבות התעניינו פילוסופים ותאולוגים במשמעות המיסטית והדתית של מספרים אלה יותר מאשר בתכונותיהם המתמטיות. אחדים ראו במספרים 6 ו-28 כשני מספרי היסוד המשמשים את "האדריכל העליון". 6 מסמל את ששת ימי הבריאה, ו-28 את מחזור הלבנה. אוגוסטינוס הקדוש (354‏-430) מעיר על המספר 6: "שש הוא מספר מושלם בזכות עצמו, ולאו דווקא בגלל שאלוהים ברא את הכול בשישה ימים. ההפך הוא הנכון: אלוהים ברא את הכול בשישה ימים, מכיוון שמספר זה הוא מושלם, והוא נשאר מושלם גם אם מעשה הבריאה לא היה קיים".


התאולוג האנגלי אלקוּאִין טען שהיצירה השנייה של העולם אחרי המבול הייתה פגומה, כיוון שהיא נוצרה מצאצאיהם של 8 אנשים שנכנסו לתיבה (נוח ואשתו, שלושת בניו ושלוש כלותיו). שמונה, לדעתו, הוא מספר פגום, לא מושלם.


הראשון שהתייחס למספרים אלה התייחסות מדעית היה אאוקלידס בספרו הידוע יסודות, שנכתב כשלוש מאות שנה לפני הספירה. למראית עין זהו ספר שעוסק ביסודות הגאומטריה, כיוון שגם המספרים מיוצגים בו כקטעים. למעשה הוא מכיל כמה פרקים שעוסקים בתורת המספרים. טענה מס' 36 בפרק התשיעי של ספרו אומרת: "אם נכפיל בזה אחר זה את המספרים, החל במספר 1, בשתיים עד שסכומם של מכפלות אלה יהיה מספר ראשוני, ואת הסכום נכפיל במספר האחרון שבסדרה, התוצאה תהיה מספר משוכלל".


כדי להמחיש טענה זאת, נתחיל במספר 1, נכפיל אותו בשתיים ואת התוצאה נכפיל שוב בשתיים עד שסכום המספרים מגיע ל-1+2+4=7, שהוא מספר ראשוני. את המספר הראשוני הזה נכפיל במספר האחרון שהוא 4 ונקבל 28=7*4, שהוא המספר המשוכלל השני. המספר המשוכלל הבא יהיה 1+2+4+8+16=31, שהוא מספר ראשוני, כפול המספר האחרון בסדרה, שהוא 16, ונקבל 496, שהוא המספר המשוכלל השלישי. את הדוגמה הראשונה אפשר לבטא כך: 28=(1- 23) 22, והשנייה כך: 496=(1- 25) 24.


אאוקלידס מוכיח את טענתו כאשר הוא מסתייע בעובדה שהייתה ידועה מכבר לאנשי פיתגורס, שסכום האיברים הראשונים (k) בסדרה גאומטרית הוא 1-k2=k-12+....+1+2+4. למשל: 127=1‏-27=21+22+23+24+25+26+ 20


כאשר בתהליך זה נגיע למספר שהוא מספר ראשוני, למשל 127, אזי המכפלה שלו עם המספר האחרון בסדרה היא מספר משוכלל: 127*64=8128. בניסוח כללי: כאשר 1-k2, הוא מספר ראשוני, אזי הביטוי (1-k2)k-12 הוא מספר משוכלל (כפי שנראה בהמשך, לביטוי2k- 1 קוראים מספר מרסן). אאוקלידס היה מודע לכך שכל המספרים המשוכללים העונים לנוסחה זו הם מספרים זוגיים. כאלפיים שנה לאחר מכן הוכיח אוילר, בעבודה שנתגלתה בשנת 1849, אחרי מותו, שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח בעל צורה זו.


המחקר הרציני הבא על מספרים משוכללים נעשה על-ידי המתמטיקאי ניקומכוס מגֶרֶש (היום בעבר הירדן – אז בתחום האימפריה הרומית), שחי בשנת 100 בקירוב. ניקומכוס כתב את הספר הקדמה לאריתמטיקה, שדן בתורת המספרים הפיתגורית. בין השאר, הוא מיין את המספרים לשלוש קטגוריות בהתייחסותם למחלקים שלהם: המספרים העודפים abundant, שהם המספרים שסכום המחלקים שלהם (חוץ מהמספר עצמו) גדול מהמספר עצמו, למשל המספר 12, שסכום מחלקיו הוא: 1+2+3+4+6=16. הקטגוריה הבאה היא המספרים החסרים deficient, שסכום מחלקיהם קטן מהמספר עצמו, למשל המספר 15 שסכום מחלקיו הוא 9=1+3+5, והקטגוריה השלישית היא המספרים המשוכללים perfect, שכאמור, מספר מחלקיהם שווה למספר עצמו. ניקומכוס כותב בספרו: "כשם שהיפים והמשובחים הם נדירים בעולם ונער יספרם, כן הרעים והמכוערים מצויים [ביקום] בשפע. כך המספרים העודפים והחסרים הם רבים מאוד ואין בהם סדר. גם גילוים לא סדיר. לעומתם המספרים המשוכללים (אולי במקרה זה ראוי לתרגם: המספרים המושלמים!) – קל לספור אותם ויש בקיומם סדר."


ניקומכוס ממשיך וקובע כמה קביעות לגבי המספרים המשוכללים מבלי שניסה להוכיחן:


1. המספר המשוכלל ה-n יש לו n ספרות.


2. כל המספרים המשוכללים הם מספרים זוגיים.


3. כל המספרים המשוכללים מסתיימים בספרות 6 ו-8 לסירוגין.


4. כפי שקבע אאוקלידס, כל המספרים המשוכללים הם בעלי צורה (1-k2)k-12 כאשר 1-k2 הוא מספר ראשוני (1k>).


5. ישנם אינסוף מספרים משוכללים.


עוד נראה איך עמדו קביעות אלה במבחן הזמן כאשר נדון בממצאי המחקר שאחרי תקופתו של ניקומכוס, אבל כבר בשלב זה נוכל לומר שקביעות 1 ו-3 הן לא נכונות בעוד ששאר הקביעות הן בגדר שאלות פתוחות.


לגבי הקביעה מס' 4, האלגוריתם שהוא מציע למציאת מספרים משוכללים תואם בדיוק את תיאורו של אאוקלידס, אבל בניסוח יותר דידקטי. לעומת זה, דומה ששאר הקביעות הושפעו מן העובדה שבזמנו של ניקומכוס היו ידועים אך ורק ארבעה מספרים משוכללים: 6, 28, 496 ו-8128. כשמסיקים מסקנות מוכללות על סמך ארבע דוגמאות, קיימים כל הסיכויים שהמסקנות תהיינה מוטעות, כפי שעוד נראה.


המתמטיקאים הערבים בימי הביניים הסכימו בדרך כלל עם קביעותיהם של אאוקלידס ושל ניקומכוס. אחד מהם פרסם רשימה של עשרה מספרים משוכללים, ששבעת הראשונים שביניהם היו מדויקים ושלושת האחרים לא היו נכונים.


בינתיים התקדמו המתמטיקאים האירופים בצעדי צב, ולכן התקדמותם לא הייתה ניכרת. הם קיבלו את קביעותיו של ניקומכוס כאמת לאמיתה. שום דבר חדש לא הטריד אותם. הם אפילו לא היו מודעים לכתביהם של הערבים בנושא. אחדים קבעו בטעות שהנוסחה (1-k2)k-12 תיתן מספרים משוכללים לכל k אי-זוגי, עד שפרסם בשנת 1536 מתמטיקאי שלא ידוע לנו עליו הרבה את הממצא ש-89*23=2047=‏1 -112 הוא מספר פריק, ובכך לא רק הזים את הטענה ש-k יכול להיות כל מספר אי-זוגי כדי שייתן מספר משוכלל (המספר 2047*1024 אינו מספר משוכלל; [1024=210]), אלא הראה שאפילו אם k הוא מספר ראשוני התוצאה לא חייבת להיות מספר משוכלל. זו הייתה תגלית חשובה כיוון שהמספרים הראשוניים: 2, 3, 5 ו-7, שהוצבו במקום k בנוסחה, נתנו את ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים, ו-11 הוא המספר הראשוני הראשון שאינו נותן את התוצאה המקווה. אותו מתמטיקאי גילה את המספר המשוכלל החמישי כאשר הציב 13 במקום k. הוא הראה ש- 33550336=(1‏-213)212 הוא מספר משוכלל מאחר ש-8191= 1‏-213 הוא מספר ראשוני. תגלית זו ערערה את הקביעה הראשונה של ניקומכוס, כיוון שהמספר המשוכלל החמישי מכיל שמונה ספרות ולא חמש. לעומת זה דומה שקביעתו השלישית קיבלה חיזוק.


כפי שקורה הרבה עם תגליות שלא התפרסמו או שנעלמו מעיני המדענים בני הזמן, אחד המתמטיקאים גילה בשנת 1555 (תוך כדי הערות על ספרו המתורגם של אאוקלידס) את המספר המשוכלל השישי, אבל עובדה זו נתגלתה רק בשנת 1977, ולכן ניתן הקרדיט לכך למתמטיקאי האיטלקי פייטרו קַטַלְדי. קטלדי פרסם בשנת 1603 את הגורמים הראשוניים של כל המספרים עד 800, וכן פרסם רשימה של כל המספרים הראשוניים עד 750 (יש 132). הוא השתמש ברשימה זו כדי להראות שהמספר 131071=1‏-217 הוא מספר ראשוני, ולכן אין לו מחלקים. מכאן קל היה לגלות את המספר המשוכלל השישי לפי הנוסחה של אאוקלידס: 8,589,869,056=(1‏-217)216. תגלית זו סותרת את הקביעה השלישית של ניקומכוס שהמספרים המשוכללים מסתיימים בספרות 6 ו-8 לסירוגין, שהרי המספר המשוכלל החמישי וגם השישי – שניהם מסתיימים בספרה 6. מסתבר שהקביעה תהיה נכונה אם נשמיט מתוכה את המילה "לסירוגין". במשך הזמן התברר שהופעתן של הספרות 6 ו-8 היא בסדר הבא לגבי כמה מהמספרים המשוכללים הראשונים: 6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8.... למעשה כל המספרים המשוכללים מסתיימים בספרות 6 או 28, כאשר לפניהן מופיע מספר אי-זוגי.


אותו קטלדי ניצל את רשימתו כדי לגלות שגם המספר 524287=1-‏219 הוא מספר ראשוני ועל כן המספר: 137,438,691,328=(1‏-219)218 הוא המספר המשוכלל השביעי.


הקורא שם לב בוודאי שתולדות המספרים המשוכללים, שנפרשו לפניו עד כה, רצופות הנחות מוטעות שנעשו על-ידי מתמטיקאים שונים, וקטלדי לא היה החריג שבהם מבחינה זו. הוא ציין באחד ממכתביו שאם נציב במקום k את המספרים: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ו-37 נקבל מספרים ראשוניים. הוא כמובן צדק לגבי שבעת המספרים הראשונים ברשימה, אבל הוא טעה לגבי שלושה מתוך ארבעת המספרים האחרונים. פרמה הוכיח במכתב שכתב בשנת 1640 למרסן שקטלדי טעה לגבי שניים מתוך הארבעה. הוא הוכיח ש- 1‏-223=178481*47 הוא מספר פריק, וכן 1‏-237=616318177*223. בשנת 1732, כתשעים שנה אחרי מכתבו של פרמה, הוכיח אוילר שהמספר המשוכלל השמיני הוא 2,305,843,008,139,952,128=(1‏-231)230. מכאן יוצא שעברו כ-130 שנה בין הגילוי של המספר השביעי לשמיני! כמה שנים לאחר מכן, בשנת 1738, הוכיח אוילר את מה שנשאר עוד להוכיח מטענותיו של קטלדי, דהיינו ש- 1‏-229 אינו מספר ראשוני.


מספרי מרסן


מַרַן מרסן (1588‏-1648) הוקסם מהתוצאות שהגיע אליהן פרמה בקשר למספרים המשוכללים והוא החל במחקרים משלו – מחקרים אשר העסיקו מתמטיקאים במשך דורות. אבל לפני שנדון בטיב המספרים הקרויים על שמו, נציין את תרומתו למחקר המדעי של זמנו. מרסן היה כומר פרנסיסקני צרפתי שחי רוב ימיו במנזר בפריס. הוא עסק בתחומים רבים של המדע והפילוסופיה, כגון תאולוגיה, מתמטיקה ותאוריה של המוסיקה. ביתו במנזר שימש בית ועד לחכמים ומדענים ברחבי אירופה במשך שנים רבות, והוא עצמו עמד בראש רשת ענפה של קשרי מכתבים בין אנשי מדע ברחבי אירופה. למעשה הוא שימש מעין בית-מסלקה של מכתבים ממדענים שונים, כך שכל אחד מהם ידע על תכניותיו או על הישגיו המדעיים של האחר. במיוחד הוא היווה ערוץ התקשורת העיקרי בין אנשי תורת המספרים הצרפתים: פרמה, פרניקל, פסקל ודקרט. על רקע העובדה שבאותם ימים לא הייתה הקהילייה המדעית ממוסדת דייה, וכתבי-עת מדעיים עדיין לא נוסדו, התפקיד שנטל מרסן על עצמו היה חשוב ביותר.


בשנת 1644 הוא טען ש-1-p2 הוא מספר ראשוני אך ורק לערכים 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ו-257 של p. מרסן החשיב את המספר 1 כמספר ראשוני. כיום מתחילה הרשימה במספר 2. הוא היה מודע לכך שאם p הוא פריק אז גם התוצאה תהיה מספר פריק, אבל ההפך לא בהכרח נכון, כלומר אם p הוא מספר ראשוני, התוצאה לא חייבת להיות מספר ראשוני (בשפת הלוגיקה: זה תנאי הכרחי, אבל לא מספיק). ואכן הוא לא כלל ברשימתו את המספר 11, למשל, כיוון שאם מציבים אותו בנוסחה נקבל 1211-2047=23*89 (עובדה זו הייתה ידועה מזמן, כפי שהראינו לעיל. האם הייתה ידועה גם לו? לא ברור). זכה מרסן ששמו יונצח בספר היוחסין של המתמטיקאים, בכך שמספרים ראשוניים אלה נקראים בימינו המספרים הראשוניים של מרסן (להבדיל ממספרי מרסן הכוללים אותם ואת המספרים הפריקים הנובעים מהנוסחה). נוהגים לסמן אותם בסימן Mp.


כיצד הגיע מרסן לרשימה זו – אין איש יודע! מכל מקום, לא מתקבל על הדעת שהוא בדק בפועל את טענתו, והוא עצמו הודה בכך: "כדי לקבוע שמספר המורכב מ-15 או 20 ספרות הוא מספר ראשוני – לא יעמוד לנו כל הזמן שברשותנו כדי להוכיח את הקביעה". המספר 2257 מורכב מ-77 ספרות, אז איך יכול היה לכלול אותו בנוסחתו? האם הייתה בידו נוסחה פלאית-מיסטית שעזרה לו בקביעתו? האם ידידו פרמה עזר לו בחישוביו? חידה!


נשארת העובדה המרשימה שאילו רשימת המספרים הזו הייתה לא יותר מאשר ניחוש, הרי הוא קלע לא רע כלל וכלל. בין המספר 19 ל-258 קיימים 47 מספרים ראשוניים שלגביהם התוצאה של 1-p2 יכולה להיות או מספר ראשוני או מספר פריק. הוא דייק בניחושו ב-42 מקרים וטעה בחמישה מהם בלבד! בניגוד לקטלדי, הוא לא כלל ברשימתו את המספר 29.


דורות של מתמטיקאים השקיעו ממרצם ומכישרונותיהם כדי לבדוק את המספרים שהציע מרסן. לא קשה להבחין שארבעת המספרים הראשונים, M2,3,5,7 הם מספרים ראשוניים, ואכן מספרים אלה היו ידועים מקדמת דנא. המספר M13 נתגלה עוד במחצית הראשונה של המאה ה-16 על-ידי איש אנונימי (ראה לעיל). קטלדי מיודענו גילה את המספרים M17 ו-M19 בסוף המאה ה-16. אוילר אישר בשנת 1772 כי המספר M31 הוא ראשוני, ומספר זה נחשב במשך כ-100 שנה כמספר מרסן הראשוני הגדול ביותר שידוע עליו. היה אפילו מתמטיקאי אחד שטען ב-1814 ש"זהו המספר הגדול ביותר שיתגלה בכלל בעתיד. כיוון שהם מסקרנים גרידא, אבל חסרי תועלת, לא נראה שמישהו ירצה לגלות מספר גדול מזה". איש זה לא העריך נכונה את עצמת הסקרנות האנושית, וכן לא יכול היה לתאר עצמתם של מחשבים משוכללים, שפותחו כ-150 שנה אחרי זמנו.


הטעות הראשונה ברשימתו של מרסן נתגלתה בשנת 1876 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי אדואר לוקס. הוא הראה ש-M67 אינו מספר ראשוני, על אף העובדה שלא היה יכול לפרקו לגורמיו (רק בשנת 1903 הצליחו לפרקו). לוקס גם הראה באותה שנה ש-M127 הוא אכן מספר ראשוני, כפי שטען מרסן. מספר זה נחשב למספר מרסן הראשוני הגדול ביותר עד שנת 1950! שבע שנים אחר כך הוכיחו שני מתמטיקאים, כל אחד בנפרד ובהפרש של שלוש שנים, שגם M61 הוא מספר ראשוני. עקב תגלית זו היו מי שקפצו וטענו שהמספר 67 ברשימתו של מרסן הוא בכלל טעות דפוס ושהוא התכוון למעשה ל-61! באשר למספר M257, הוכח בשנת 1931 שהוא מספר פריק מבלי יכולת לפרקו. הפירוק נעשה בשנת 1952 בעזרת מחשב שולחן. מלאכת הפירוק באמצעות מחשב זה ארכה 700 שעות. 20 שנה לאחר מכן, כאשר לרשות המתמטיקאים עמד מחשב אלקטרוני משוכלל נדרשו בסך הכול 48 שניות כדי לפרקו.


מכל הדיון הנ"ל עולה שלמרסן היו, כאמור, חמש טעויות בלבד: שני מספרים ברשימתו (M67 ו- M257) הוכחו כפריקים, ושלושה מספרים (M61, M89 ו-M107), שהיו צריכים להיכלל ברשימתו, לא נכללו.


מספרי מרסן הראשוניים M89 ו-M107 נתגלו על ידי אותו מתמטיקאי בהפרש של 3 שנים (1911, 1914). למעשה, החיה מחדש השימוש במחשבים את העניין בגילוי המספרים הראשוניים של פרמה ובעקבותיו גילוי המספרים המשוכללים. גילוי של מספר מרסן ראשוני כלשהו היה מאורע תקשורתי שזכה לתהודה בעיתונות הכתובה והאלקטרונית. כאשר גילו בשנת 1963 באוניברסיטת אילינוי באורבָּנָה את M11213 (מרסן מס' 23), הייתה המחלקה למתמטיקה של האוניברסיטה כה גאה עד כי הורה ראש המחלקה לבייל את כל המעטפות שלו בבול מודפס של משרד הדואר האמריקאי. בול זה היה בשימוש שם עד שנת 1976.


בארצות-הברית מתקיים מחקר באמצעות האינטרנט שבו משתתפים מאות מתנדבים. הם משתמשים במחשביהם האישיים כדי לבצע חלקים שהוקצו להם מהמחקר הגדול. מתנדבים זוקפים לזכותם גילויים של שמונת מספרי מרסן הראשוניים הגדולים ביותר. הוטל עליהם גם לבדוק את כל החזקות של p עד 15 מיליון. נכון לאוקטובר 2009, נתגלו בסך הכל 47 מספרי מרסן ראשוניים, והגדול שבהם הוא M43112609. זהו מרסן מס' 45. מספר זה תואם את הסדר הכרונולוגי של הגילוי. ואילו מרסן מס 47, שנתגלה מאוחר יותר, הוא קטן ממנו. זהו גם המספר הראשוני הגדול ביותר שנתגלה. הוא מורכב מיותר משנים עשר מיליוני ספרות. כיום יש אתר מיוחד באינטרנט שעוקב אחר הגילויים האחרונים של מספרי מרסן ראשוניים ומפרסם אותם.


תכונות נוספות של המספרים המשוכללים


 כל המספרים המשוכללים (חוץ מ-6) משאירים שארית של 1 בהתחלקם ל-9.


 יוצא מעצם ההגדרה של מספר משוכלל שסכום המספרים ההופכיים של מחלקיו (כולל 1 והמספר עצמו) שווה ל-2. כך:


28+28=1+2+4+7+14+28


נחלק את שני אגפי המשוואה ב-28 ונקבל:


2=1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1


שאלות לא פתורות


ישנן כמה שאלות שאין עליהן עדיין תשובה:


 ידוע לנו שמספרים משוכללים זוגיים הם תוצאה של מכפלת מספרי מרסן ראשוניים בחזקות של שתיים. לא ידוע לנו אם קיימים בכלל מספרים משוכללים אי-זוגיים, אבל אם קיים מספר משוכלל כזה, הרי הוא צריך להיות מספר עצום בממדיו בעל 75 גורמים ראשוניים לפחות. הראשון שהעלה את אפשרות קיומם של מספרים משוכללים אי-זוגיים היה דקרט, במכתב ששלח למרסן בשנת 1638.


 לא ידוע אם קיימים אינסוף של מספרי מרסן ראשוניים. כיוון שקיים יחס של אחד לאחד בין מספרים אלה למספרים משוכללים (כלומר כל מספר ראשוני נותן מספר משוכלל, ולהפך) משפט זה יכול גם להתנסח כך: לא ידוע אם קיימים אינסוף מספרים משוכללים. אנו יודעים שהם נעשים נדירים יותר ויותר ככל שמתקדמים בציר המספרים, אבל אנו יודעים גם שמתגלים כל הזמן עוד ועוד מספרים כאלה. לפי שעה, המסקנה המסתמנת היא שסביר שקיימים אינסוף של מספרי מרסן ומספרים משוכללים.


 לא ידוע אם יש אינסוף מספרי מרסן פריקים. נראה שכן.